• Лекция 5
  • Свойства КС-грамматик
    • Th Лемма Огдена
    • Pf TODO
    • Th Следствие из Леммы Огдена
    • Pf
    • Df $M \subset \N$ — периодическое множество
    • Th Про унарные языки
  • Pf

Лекция 5

Свойства КС-грамматик

Th Лемма Огдена

Не лемма, а теорема, но так исторически сложилось, что называют леммой Введем операцию “пометить символ $c$ в слове $w$”. Пусть $mark(w) = \vert \left{c \in w \vert \, c \textrm{ — помеченный}\right} \vert$, то есть количество помеченных символов. $\forall L \in \textrm{CFL} \exists m \in \N$ $\forall w : mark(w) \geq m \textrm{ и } w = xuzvy$ выполняется следующее:

• $mark(uv) \geq 1$
• $mark(uzv) \leq m$
• $\forall k \in \N_0 \,\, xu^kzv^ky \in L$

Pf TODO

Я пока еще не придумал, как рисовать деревья вывода здесь, а их в доказательстве много. Пока неплохое доказательство есть на вики ИТМО
TODO

Лемма о накачке из предыдущей лекции — следствие из леммы Огдена при $m,n = m$ и всех помеченных позиций слова.

Th Следствие из Леммы Огдена

$\vert \Sigma \vert \geq 2 \implies \left{ ww \vert w \in \Sigma^*\right} \textrm{ — не КСЯ}$

Pf

Как и с любой другой леммой о накачке нужно идти от противного: Пусть $\left{ ww \vert w \in \Sigma^*\right}$ — все-таки КСЯ. Тогда для него выполняется лемма о накачке. $\exists n, m \in \N$ $w = a_1^k,…,a_l^k, a_i \in \Sigma,\,\, a_i \neq a_j \,\,\forall i, j: i \neq j$ $k\geq m$ $\vert ww \vert \geq n$ $ww = xuzvy, xu^2zv^2y \in L$ Рассмотритм положение $uzv$ в слове:
| $a_1^k$……………………..$a_l^k$ | $a_1^k$………………………$a_l^k$|

1) Если $uzv$ лежит в левой половине слова: $xu^2zv^y = w’ \implies$ первая копия $w’$ кончается в блоке $a_l^k$ … и все поехало — TODO исправить доказательство.

Df $M \subset \N$ — периодическое множество

$$\exists n_0, d: \,\, \forall n > n_0 \,\, n \in M \implies n+ d \in M$$

Th Про унарные языки

Для $L \subset \left{a\right}^*$ следующие условия эквивалентны:

1. $L$ — регулярный
2. $L$ — КСЯ
3. $\left{\vert w \vert \mid w \in L\right}$ — периодическое множество.

Pf

$1 \rightarrow 2$ — очевидно $2 \rightarrow 3$: Для $L$ выполняется лемма о накачке для $n,m$: $a^p \in L, \,\, p \geq n$ $a^p = xuzvy$ Используем тот факт, что конкатенация в унарных языках коммутативна: $xu^{k+1}zv^{k+1}y = xzyu^{k+1}v^{k+1} \in L$ $\forall k\,\, a^{p+k\vert uv \vert} \in L$ Получилось почти определение периодического множества.