• Лекция 4
  • Нормальная форма Хомского
    • Df $G \in \textrm{CFG}$ имеет нормальную форму Хомского (ХНФ)
    • Th О форме Хомского
    • Df Цикл в грамматике $G$
    • Lm о циклах в грамматике (2)
    • Pf 2
    • Pf 1
    • Пример приведения к ХНФ
  • Теорема о накачке
    • Th о накачке

Лекция 4

Нормальная форма Хомского

Df $G \in \textrm{CFG}$ имеет нормальную форму Хомского (ХНФ)

$G \in G_\lambda$ и $\forall p \in G.P$ (кроме $S \rightarrow \lambda$) $p$ имеет вид $A \rightarrow BC$ или $A \rightarrow a$ для некоторых $A$, $B$ $\in G.\Gamma$ и $a \in \Sigma^*$

Th О форме Хомского

$\forall G \in \textrm{CFG} \,\,\exists G' \textrm{ в ХНФ } \, : \, G \overset{L}{=} G'$ (1)

Df Цикл в грамматике $G$

Набор правил $A_1 \rightarrow A_2, A_2 \rightarrow A_3, …, A_{k-1} \rightarrow A_k ,A_k \rightarrow A_1 \subset G.P$ — цикл

Lm о циклах в грамматике (2)

$\forall G \in \textrm{CFG} \,\,\exists G’ \textrm{CFG} \, : \, G \textrm{ не имеет циклов и } G \overset{L}{=} G’$

Pf 2

Возьмем некоторую $G = (\Sigma, \Gamma, P, S) \in \textrm{CFG}$. По теореме о $\lambda$-свободных грамматиках мы можем считать, что $G$ уже является $\lambda$-свободной.
Рассмотрим граф: его вершины — нетерминалы, а ребра — правила: $J = (\Gamma, \left{uw \vert (u \rightarrow w) \in P \right})$.
В таком графе нет петель, а циклы в грамматике соответствуют циклам в графе. В каждом цикле $C = \left{A_1, A_2,…, A_n\right}$ заменим все нетерминалы $A_i$ на некоторый $A_k \in C$ и получим соответствующее правило, которое (вместе с другими правилами, не образующими циклы) и образует необходимую ациклическую грамматику.
Путем махания руками показали, что такое преобразование эквивалентно. Полное доказательство есть в ШурЗаме на 93 странице.

Pf 1

Приведем алгоритм приведения некоторой КСГ $G$ в ХНФ:

• По теореме о $\lambda$-свободной грамматике можно перейти от $G$ к эквивалентной ей $\lambda$-свободной $G_0$
• Теперь для каждого правила вида $A \rightarrow \alpha, \, \alpha \neq \lambda$:
  • Для каждого $b \in \alpha \cap \Sigma$ введем новый нетерминал $B$
  • Добавим правило $B \rightarrow b$
  • Заменим все вхождения $b$ в правых частях всех правил на $B$
  • Полученную в результате грамматику назовем $G_1$. Очевидно, что такое преобразование будет эквивалентным.
• Теперь нужно справиться с правилами вида $A \rightarrow A_1 \cdot A_2 \cdot … \cdot A_k, \, k>2$, для каждого такого правила:
  • заменим все правило на следующий набор: $A \rightarrow A_1 \cdot A_1’$, $A_1’ \rightarrow A_2 \cdot A_2’$, …, $A_{k-2}’\rightarrow A_{k-1} \cdot A_k$
  • Такое преобразование тоже, очевидно, эквивалентно: просто заменили длинное правило на длинную цепочку правил по два нетерминала и получили новую грамматику $G_2$
• Используем лемму о циклах и избавляемся от циклов в $G_2$, получаем $G_3$.
• Теперь осталось избавиться от правил вида $A \rightarrow B$:
  • Строим граф из всех правил такого вида: он будет направленным и ациклическим $\implies \exists B$ — сток (вершина с нулевой степенью исхода).
  • В $G_3$ существует правило $p’ = B \rightarrow \beta_1 \vert \beta_2 \vert … \vert \beta_m$
  • Подставляем правую часть $p’$ везде, где использовался нетерминал $B$
  • Повторяем предыдущие три шага пока есть еще правила вида $A \rightarrow B$.
  • B итоге получаем $G_4$ в ХНФ.

Все преобразования в этом алгоритме эквивалентны, значит мы доказали теорему путем построения и применения этого алгоритма.

Пример приведения к ХНФ

$G$: $S \rightarrow S(S) \vert \lambda$ Еще один вариант генерации правильных скобочных последовательностей.
Для начала нужно привести к $\lambda$-свободной грамматике $G_0$: $S' \rightarrow \lambda$ $S' \rightarrow S$

$S \rightarrow SS \vert (S) \vert ()$ $S’$ теперь аксиома.

Теперь можно приводить к ХНФ: Делаем первый шаг — убираем правила, в правой части которых есть терминалы вместе с нетерминалами и получаем $G_1$: $S' \rightarrow \lambda \vert S$

$$S \rightarrow SS \vert LSR \vert LR$$ $$L \rightarrow ($$ $$R \rightarrow \, )$$

Делаем второй шаг — убираем правила, правая часть которых длиннее двух символов и получаем $G_2$:

$$S' \rightarrow \lambda$$ $$S' \rightarrow S$$ $$S \rightarrow SS \vert LA \vert LR$$ $$A \rightarrow SR$$ $$L \rightarrow ($$ $$R \rightarrow \, )$$

Делаем третий шаг — убираем правила вида $A \rightarrow B$ (такое только одно) и получаем $G_4$ в ХНФ:

$$S' \rightarrow \lambda$$ $$S' \rightarrow S'S' \vert LA \vert LR$$ $$A \rightarrow S'R$$ $$L \rightarrow ($$ $$R \rightarrow \, )$$

Теорема о накачке

Th о накачке

$\forall L \in \textrm{CFL} \exists m, n \in \natnums: \\ \forall w \in L \, : \, \vert w\vert > n \\ w = xuzvy$ где $\vert uv \vert > 0 \\ \vert uzv \vert < m$ выполняется $\forall k \geq 0 \,\, xu^kzv^ky \in L$ TODO Доказательство большое и требует рисования треугольных деревьев, не совсем понятно, как это провернуть тут. К тому же Шур на лекции его не давал, так что черт его знает, нужно ли писать TODO
Доказательство можно посмотреть в ШурЗаме на странице 71.