• Лекция 3
  • Приведенные грамматики
    • Df Грамматика $G$ эквивалентна грамматике $G’$: $G \overset{L}{=} G’$
    • Df $A \in \Gamma$ — производящий
    • Df $A \in \Gamma$ — достижимый
    • Df $G$ — приведенная
  • Пример множеств достижимых и производящих символов
    • Th $\forall G \in \textrm{CFG} \, \, \exists G’$ — приведенная грамматика, такая что $G \overset{L}{=} G’$ (1)
    • Al Построение $\Gamma_p$
    • Al Построение $\Gamma_r$
    • Al Построение приведенной грамматики $\widehat{G}$
    • Pf Корректность алгоритма
    • Пример применения алгоритмов поиска $\Gamma_p$ и $\Gamma_r$
  • $\lambda$-свободные грамматики
    • Df Грамматика $G$ — $\lambda$-свободная
    • Df Множество аннулирующих символов КСГ $G$
    • Пример поиска $Ann(G)$
    • Th $\forall G \in \textrm{CFU} \, \, \exists \, G’ \in \textrm{CFU}_\lambda$ (2)
    • Al Построение $\lambda$-свободной грамматики $G’$ из $G$
    • Pf (2)
    • Пример построения $\lambda$-свободной грамматики

Лекция 3

Приведенные грамматики

Df Грамматика $G$ эквивалентна грамматике $G’$: $G \overset{L}{=} G’$

$$L(G) = L(G')$$

Дальше все для некоторой грамматики $G = (\Sigma, \Gamma, P, S)$, так же будем обозначать $G.\Gamma$ — множество нетерминалов грамматики $G$ — как свойство в каком-нибудь ЯП

Df $A \in \Gamma$ — производящий

$\exists w \in \Sigma^* : A \overset{*}{\implies} w$

Df $A \in \Gamma$ — достижимый

$\exists \alpha, \beta \in (\Sigma \cup \Gamma)^* \ : A \overset{*}{\implies} \alpha A \beta$

Далее $\alpha$ и $\beta$ всегда такие же.

Нас интересуют такие грамматики, в которых меньше всего мусора, где нет недостижимых и не производящих символов.

Пусть $\Gamma_p$ — множество производящих символов (от producing), а $\Gamma_r$ — множество достижимых символов (от reachable).

Df $G$ — приведенная

$$\forall A \in G.\Gamma : A \text{ — достижимый и производящий}$$

Пример множеств достижимых и производящих символов

Пусть $G$ задается так: $S \rightarrow bAc | AcB$

$$A \rightarrow abc | K$$ $$B \rightarrow Ea$$ $$C \rightarrow BD$$ $$D \rightarrow CCA$$ $$E \rightarrow Fbb$$ $$F \rightarrow a$$ $$T \rightarrow b$$ $$K \rightarrow K$$

тогда:

$$\Gamma_p = \left\{S, A, E, B, F\right\}$$ $$\Gamma_r = \left\{S, A, E, B, F, T\right\}$$

Пример такой, что множества почти совпадают, но это не говорит о связи между производящими символами и достижимыми. Например $T$ — производящий, но недостижимый, а $K$ — достижимый и не производящий (хоть правило явно мусорное, которое его задает).

---

Обозначим $G \in \textrm{CFG}$ как $G$ — КСГ, мол $\textrm{CFU}$ — множество всех КСГ.

Th $\forall G \in \textrm{CFG} \, \, \exists G’$ — приведенная грамматика, такая что $G \overset{L}{=} G’$ (1)

Для доказательства приведем два алгоритма:

Al Построение $\Gamma_p$

• $$\Gamma_p = \left\{A \in \Gamma \vert (A \rightarrow w) \in P, w \in \Sigma^* \right\}$$
• пока $\Gamma_p$ не стабильно:
  • $$\Gamma_p = \Gamma_p \cup \left\{A \in \Gamma \vert (A \rightarrow \gamma) \in P, \gamma \in (\Sigma \cup \Gamma_p)^* \right\}$$

стабильно — больше не меняется.

Простыми словами — добавляем к $\Gamma_p$ символы, из которых выводятся слова, в которых есть символы из $\Gamma_p$.

Al Построение $\Gamma_r$

• $$\Gamma_r = \left\{S\right\}$$
• пока $\Gamma_r$ не стабильно:
  • $$\Gamma_r = \Gamma_r \cup \left\{A \in \Gamma \vert (B \rightarrow \alpha A \beta) \in P, B \in \Gamma_r\right\}$$

Опять простыми словами — нужно брать те символы, которые выводимы из некоторого элемента $\Gamma_r$.

Al Построение приведенной грамматики $\widehat{G}$

• Найти $\Gamma_p$
  • $\widehat{G}=$ если $S \notin \Gamma_r$, то $(\Sigma, \emptyset,\emptyset,\emptyset) \overset{L}{=} G$, иначе $(\Sigma, \Gamma, \widehat{P}, S)$,
    где $\widehat{P} = \left\{(A \rightarrow \gamma) \vert (A \rightarrow \gamma) \in P, \gamma \in (\Sigma \cup \Gamma_p)^*\right\}$
• Найти $(\Gamma_p)_r$
  • $\widetilde{G} = (\Sigma,(\Gamma_p)_r, \widetilde{P}, S)$,
    где $\widetilde{P} = \left\{ (A \rightarrow\gamma) \vert (A \rightarrow\gamma) \in \widehat{P}, \gamma \in (\Sigma \cup (\Gamma_p)_r)^* \right\}$

Pf Корректность алгоритма

Доказав корректность алгоритма, мы докажем и теорему (1) по построению, мол “Просто используйте алгоритм”.

TODO Тут было много слов и махания руками, но они утеряны, нужно прояснить и написать доказательство. TODO

Порядок поиска множеств $\Gamma_p$ и $\Gamma_r$ важен: в таком порядке делать $(\Gamma_r)_p$ будет неверно!

Пример применения алгоритмов поиска $\Gamma_p$ и $\Gamma_r$

$$S\rightarrow ab|bAc$$ $$A \rightarrow CB$$ $$B \rightarrow aSA$$ $$C \rightarrow bC|d$$

1. $\Gamma_p = \left\{S,C\right\}$ $(\Gamma_p)_r = \left\{S\right\}$ Как видно, такая грамматика не эквивалентна данной, значит в таком порядке применять не нужно.

2. $\Gamma_r = \left\{S,A,B,C\right\}$ $(\Gamma_p)_r = \left\{S,C\right\}$

---

$\lambda$-свободные грамматики

Df Грамматика $G$ — $\lambda$-свободная

Обозначим как $G \in \textrm{CFG}_{\lambda}$

Либо $\forall p \in G.P \,:\, p \neq (A \rightarrow \lambda)$,
либо $(S \rightarrow \lambda) \in G.P$ и $\forall p \in G.P \,:\, \left[\,p = (A \rightarrow \alpha), \, S \notin \alpha\right]$

То есть в грамматике нет символов, из которых напрямую выводится пустое слово, хотя для аксиомы такое разрешается при условии, что нет правил, в правой части которых встречается аксиома.

Df Множество аннулирующих символов КСГ $G$

$Ann(G) = \left{A \in \Gamma\,\vert\, A \overset{*}{\underset{G}{\implies}} \lambda\right}$

Пример поиска $Ann(G)$

$$S \rightarrow aBC|A$$ $$A \rightarrow bC|\lambda$$ $$B \rightarrow ACA$$ $$C \rightarrow \lambda$$ $$E \rightarrow CA$$ $$D \rightarrow bE|c$$

Первыми берем очевидные символы из которых напрямую выводится пустой символ — $A$ и $C$. Потом те, из которых выводятся слова, содержащие символы,выбранные раньше, и не содержащие терминалы — $B$, $E$ и $S$.

$D \rightarrow bE \vert c$ не позволяет нам добавить $D$ к $Ann(G)$, так как из $D$ обязательно выведется какой-то непустой символ — $b$ или $c$, хотя из $E$ и выводится пустой символ.

$$Ann(G) = \left\{A,C,B, E, S\right\}$$

---

Th $\forall G \in \textrm{CFU} \, \, \exists \, G’ \in \textrm{CFU}_\lambda$ (2)

Для доказательства введем отношение $\llless$ на $(G.\Gamma \cup G.\Sigma)^*$ для некоторой $G \in \textrm{CFG}$: $\beta \llless \gamma \iff \beta \text{— подпоследовательность } \gamma, \gamma\setminus\beta \in Ann(G)$

Al Построение $\lambda$-свободной грамматики $G’$ из $G$

• Найти $Ann(G)$
• $\widehat{G}= (\Sigma, \Gamma, \widehat{P}, S)$,
  где $\widehat{P} = \left\{(A \rightarrow \beta) \,\vert \, (A \rightarrow \gamma) \in P, \, \beta \llless \gamma, \, \beta \neq \lambda\right\}$
• если $\lambda \in L(G)$, то
  $\widehat{G} = (\Sigma, \Gamma \cup \widehat{S}, \widehat{P} \cup \left\{(\widehat{S} \rightarrow \lambda), (\widehat{S} \rightarrow S)\right\}, \widehat{S})$

Последний шаг обеспечивает сохранение пустого слова в построенном языке тем, что добавляет новую аксиому к нему и правила перехода из нее в старую.

Pf (2)

Опять говорим, что теорема доказывается применением алгоритма, докажем корректность алгоритма — докажем теорему.

Проверим, что $L(G) = L(\widehat{G})$: возьмем $w \in L(\widehat{G}), \, w \neq \lambda$.

$S \overset{*}{\underset{\widehat{G}}{\implies}} w$

на каждом шаге машем руками и все получается…

TODO доказательство упущено, нужно его дописать TODO

Пример построения $\lambda$-свободной грамматики

$G$:

$$S \rightarrow BC | cBd$$ $$B \rightarrow BC | ab | \lambda$$ $$C \rightarrow ac | \lambda$$ $$Ann(G) = \left\{B,C,S\right\}$$

$\widehat{G}$:

$$S \rightarrow BC | C| B | cBd | cd$$ $$B \rightarrow BC | B | C | ab$$ $$C \rightarrow ac$$